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黎哲:有限的增长曲线

这是一个真实存在的故事,有一个英国人把家乡的兔子带到了新开拓的澳大利亚,有一天,一些兔子脱离了人类的控制到了野外。在此之后的数十年,这些兔子从最初的24只繁衍到了6亿只,破坏了澳大利亚的植被,造成了严重的生态危机。

黎哲:有限的增长曲线
笼子里的白兔或猫,在没有大型肉食动物的新大陆上将几乎无限生长

但是为什么我们平时看到的动物、植物都不会无限制地生长下去?这就涉及到指数模型和逻辑斯蒂模型的问题,也就是生物讲过的J型增长和S型增长。

就像发酵的米浆里的乳酸菌,营养成分和其他外界因素会导致它生长速率的减慢

开头所讲的兔子为什么会增长得如此之快?因为在没有任何外界扰动的情况下,事物总是趋向于指数增长,体现在迭代速率维持稳定。

可以看成每一个时间段增长当前种群数量乘以一定的比率的积,

用微分方程表示就是:dy/dx=ky

可以化简为:dy/y=kdx

即:lny=kx+C,得到y=Cekx,其中C为0时刻的种群数量。

在理想条件下,虾和蚕这些动物都会呈现指数增长

这个模型可以解决没有外界扰动情况下所有的自然与人类活动,而且大量事实表明,在任何事物最开始发展的阶段,它的增长都是近似于指数增长的。例如上世纪90年代的摩托车数量增长,2013年左右4G网民随智能手机普及的增长等。

这可以解释为什么网红在一开始总是能流量爆表

然而把同样的兔子放在粤港澳大湾区的市政公园里面,却不会出现这种数十年间从24只繁衍到6亿只的情况,这是为什么呢?

即使在再优越的环境,外界因素总是存在的,动物和人都不能无限繁殖

因为这些兔子会受到很多因素的影响,例如公园里的草和人类提供的蔬菜是有限的,兔子自身会有衰老和死亡的情况,以及不可抗的病毒、台风等自然灾害或生物因素,最终兔子的数量总会趋于区域内的最大环境容纳量。

这时候可以看作增长率既与当前种群数量有关,也和最大环境容纳量与当前种群数量之差有关。可以用微分方程表示为dy/dx=ky(Y-y),可以化简为:dy/{y(Y-y)}=kdx,1/Y(1/(Y-y)+1/y)=kdx,1/y*ln*y/(Y-y)=kx+C,y/(Y-y)=eYkx+CY,最终解得y=YAeYkx/(1+AeYkx’)*A=eCY

其曲线就是S型曲线的原型,其中0时刻的种群数量为YA/1+A。

这个模型普遍存在于自然与人类世界的增长中,被称为逻辑斯蒂模型。

本质就是增长率为关于时间的二次函数的图像

当y=Y/2时,dy/dx有最大值kY^2/4,符合S型增长的最适环境容纳量。这在社会上体现在当一件物品或一项能力达到最大市场需求的一半时,它的发展势头是最旺盛的。例如2017年的共享单车,当一线城市基本普及,二三线城市开始风靡的时候,正是共享单车行业发展得最快的时候,而在2021年当共享单车市场基本被黄、蓝、绿三家瓜分的时候,共享单车已经不再热门了。

地铁建设也是,进度接近一半的时候往往是进展速度最快的时候

同样地,从逻辑斯蒂模型的增长曲线也可以证明,在所有事物开始的时候,增长总是趋向于指数增长。例如一定区域内注册无人机驾驶员的人数,刚开始的时候人们对其都很有期望,导致注册人数以比较高的增长率稳定增长。然而无人机从业的覆盖面,无人机行业的发展前景等都在影响着注册人数的增长,导致最终注册人数会趋向于无人机行业达到饱和时的从业人数。

无人机的从业者即使再多,总有达到饱和的那一天

客观来说,所有事物的增长都是遵循逻辑斯蒂模型的。在外界干扰无法避免的情况下,能够改变的就是增长的上限值和增长的速率,其中增长的上限起决定作用。所以在开展一个项目的时候,如果想要得到更多的关注,就需要先确定自己的目标人群的绝对数量,也就是微分方程中的Y值。

一条小村能吸引多少人,就要从目标开始,规划逻辑斯蒂曲线的高度

指数模型和逻辑斯蒂模型在2021年应用于分析疫苗接种的人数增长。例如某款疫苗,某区域内18岁以上的居民可以免费接种,在一般情况下,其在接种人数增长率的变化趋势会是类似二次函数一样先增长后减小,总体接种人数的增长呈现慢-快-慢的趋向,即在接近一半人接种时增长接种人数最多,当接种人数接近于区域18岁以上的居民总数时,就可以达到理论上的群体免疫状态。

无论是疫苗普及还是新思想的熏陶都是一种逻辑斯蒂模型

这类似文章开头提到的公园里的兔子增长模型,但无论是疫苗接种还是兔子增长,都需要一段时间达到增长的最大值,这是由外界因素决定的。所有的技术和新产品都需要经过一段时间的努力才能达到目标人群的基本覆盖,区别仅在于努力时间的长短,也就是微分方程中k的数值。

例如对文明乘坐地铁的知识的普及,努力的速度是由人的素质决定的

总之,逻辑斯蒂模型是一般增长抽象出的模型,无论是自然界的兔子增长,人类社会的发展规律(例如新事物取代旧事物的历程),都是普遍通用的。人能够做的是通过适当的调节,改变增长上限(Y值)和增长速率(k值),使得事物的发展能顺应发展的规律。

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